Koshe Dekhi 5.1 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.১|কষে দেখি 5.1 ক্লাস 10
1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি ঃ
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
সমাধানঃ 4 বছর ও 1 বছর 6 মাসের অনুপাত
= 4: (12+6)
= 4 : 18
= 2:9
2:9 < 1 , সুতরাং অনুপাতটি লঘু অনুপাত ।
(ii) 75 পয়সা ও 1 টাকা 25 পয়সা
সমাধানঃ 75 পয়সা ও 1 টাকা 25 পয়সার অনুপাত
= 75 : (100+25)
= 75:125
= 3:5
এখন 3:5 অনুপাতটি 1 অপেক্ষা ছোটো সুতরাং এটি একটি লঘু অনুপাত ।
(iii) 60 সেমি এবং 0.6 মিটার
সমাধানঃ 60 সেমি এবং 0.6 মিটার এর অনুপাত
= 60 : (0.6☓100)
= 60:60
= 1:1
∴ প্রদত্ত অনুপাত টি একটি সাম্যানুপাত ।
(iv) 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম
সমাধানঃ 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম এর অনুপাত
= (1.2 ✕ 1000) : 60
= 1200:60
= 20:1
যেহেতু অনুপাতটি 1 অপেক্ষা বড় তাই অনুপাতটি একটি গুরু অনুপাত ।
2(i) p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি
সমাধানঃ p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাত টি হল
= p✕1000 : q
= 1000p:q
2(ii)x দিন ও z মাসের মধ্যে কখন অনুপাত নির্ণয় করা সম্ভব হবে লিখি
সমাধানঃ x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় তখনই করা যাবে যখন তাদের একক সমান হবে অর্থাৎ তাদের একক যদি মাস অথবা দিনে প্রকাশ করা হয় তখন তাদের অনুপাত নির্ণয় করা সম্ভব হবে ।
2(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কি ধরনের অনুপাত হবে লিখি
সমাধানঃ ধরি একটি অনুপাত a:b
∴ তার ব্যাস্ত অনুপাত = b:a
এখন এদের মিশ্র অনুপাত= ab :ba = 1:1 যা একটি সাম্যানুপাত
2(iv) (a/b):c , (b/c):a , (c/a):b এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ প্রদত্ত অনুপাত গুলির মিশ্র অনুপাত
= (a/b ✕ b/c ✕ c/a):cab
= 1:abc
2(v) x2 : yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy:z2হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি, x2 : yz এবং a:b মিশ্র অনুপাত xy:z2 হবে হিসাব করে লিখি ।
∴ ax2 : byz = xy:z2
বা, ax2/byz = xy/z2
বা, a/b = xy/z2 ✕ yz/x2
বা, a/b= y2/xz
বা, a:b = y2 : xz
∴ x2 : yz এবং y2 : xz এদের মিশ্র অনুপাত হবে xy:z2
2(vi) x2 : yz/x , y2 :zx/y , z2 : yx/z অনুপাতগুলির ব্যাস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ x2 : yz/x অনুপাতটির ব্যাস্ত অনুপাত yz/x: x2
y2 :zx/y অনুপাতটির ব্যাস্ত অনুপাত zx/y:y2
z2 : yx/z অনুপাতটির ব্যাস্ত অনুপাত yx/z: z2
এখন ব্যাস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত
3.নিম্নলিখিত গুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি ঃ
(i) 4:5 , 5:7 এবং 9:11
সমাধানঃ প্রদত্ত অনুপাত গুলির মিশ্র অনুপাত
= (4✕ 5 ✕ 9) : (5✕ 7 ✕ 11)
= 180 : 385
= 36:77
(ii) (x+y) : (x-y) , (x2+y2) : (x+y)2 এবং (x2-y2) : (x4-y4)
সমাধানঃ প্রদত্ত অনুপাতগুলির মিশ্র অনুপাত
4(i) A:B = 6:7 এবং B:C = 8:7 হলে A:C নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
4(ii) যদি A:B = 2:3, B:C= 4:5 এবং C:D= 6:7 হয় তবে A:D এর মাণ নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
4(iii) যদি A:B=3:4 এবং B:C = 2:3 হয় তাহলে A:B:C নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
4(iv) x:y=2:3 এবং y:z = 4:7 হলে , x:y:z নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ x:y = 2:3 = 8:12
এবং y:z= 4:7=12:21
∴ x:y:z = 8:12:21
5(i) x:y = 3:4 হলে , (3y-x) : (2x+y) কত হবে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি , x = 3k এবং y = 4k [k ≠ 0 একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
5(ii) a:b= 8:7 হলে, দেখাই যে (7a-3b): (11a-9b) = 7 : 5
সমাধানঃ ধরি , a = 8k এবং b = 7k [ যেখানে k ≠ 0 একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
5(iii) p:q=5:7 এবং p-q=-4 হলে , 3p+4q এর মাণ নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি, p= 5k এবং q = 7k [ k ≠ 0 একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
p-q = -4
or, 5k-7k = -4
or, -2k = -4
or, k = 2
∴ p =5k=10 এবং q=7k=14 [যেহেতু,k = 2]
∴ 3p+4q
= 3(10)+4(14)
= 30 +56
= 86
∴ 3p+4q=86
6(i) (5x-3y) : (2x+4y) = 11:12 হলে , x:y এর মাণ কত ?
সমাধানঃ
(5x-3y) : (2x+4y) = 11:12
বজ্রগুণন করে পাই ,
12(5x-3y)=11(2x+4y)
বা, 60x-36y = 22x +44y
বা, 60x-22x = 44y+36y
বা, 38x = 80y
বা, x:y = 40:19
∴ x:y = 40:19
6(ii) (3a+7b) : (5a-3b) = 5:3 হলে , a : b এর মাণ নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
(3a+7b) : (5a-3b) = 5:3
বা, 3(3a+7b) = 5(5a-3b)
বা, 9a+21b = 25a – 15b
বা, 9a -25a = -21b-15b
বা, -16a = -36b
বা, a:b = 9 : 4
∴ a:b = 9 : 4
7(i) (7x-5y) : (3x+4y) = 7: 11 হলে , দেখাই যে (3x-2y) : (3x+4y) = 137: 473
সমাধানঃ
(7x-5y) : (3x+4y) = 7:11
বা, 11(7x-5y) = 7(3x+4y)
বা, 77x-55y = 21x+28y
বা, 77x-21x = 55y+28y
বা, 56x = 83y
ধরি x = 83k এবং y = 56 k , [k (≠ 0) , একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ (3x – 2y) : (3x+4y)
= 137 : 473
∴ (3x – 2y):(3x+4y) =137:473 [প্রমানিত ]
7(ii) (10x+3y) : (5x+2y) = 9:5 হলে দেখাই যে (2x+y) : (x+2y) = 11 : 13
সমাধানঃ
(10x+3y) : (5x+2y) = 9:5
বা, 5 (10x+3y) = 9(5x+2y)
বা, 50x + 15y = 45x + 18y
বা, 50x-45x = 18y – 15y
বা, 5x = 3y
ধরি , x = 3k এবং y = 5k [ যেখানে k ( ≠ 0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ (2x+y) : (x+2y)
= 11 : 13
∴ (2x+y) : (x+2y) = 11 : 13 [ প্রমানিত ]
8(i) 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সাথে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সাথে x যোগ করলে অনুপাতটি 6: 11 হবে
∴ (2+x) : (5+x) = 6:11
বজ্রগুণন করে পাই ,
বা, 11 (2+x) = 6 (5+x)
বা, 22+11x = 30+6x
বা, 22-30 = -11x+6x
বা, -8 = -5x
বা, x = 8/5
∴ উভয় পদের সাথে 8/5 যোগ করলে অনুপাত টি 6:11 হবে ।
8(ii) a:b বইষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বইষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি a : b বইষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে x বিয়োগ করলে বইষম্যানুপাতটি m : n হবে ।
শর্তানুসারে ,
(a-x) : (b-x) = m : n
বজ্রগুণন করে পাই ,
বা, n(a-x) = m(b-x)
বা, na-nx = mb-mx
বা, x (m-n) = mb-na
∴ a : b বইষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে (mb-na) / (m-n) বিয়োগ করলে বইষম্যানুপাতটি m : n হবে ।
8(iii) কোন সংখ্যা 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তর পদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাত টির মাণ 2 : 3 এবং 5 : 4 এর যৌগিক অনুপাত হবে ।
সমাধানঃ ধরি সংখ্যাটি হল x
শর্তানুসারে ,
(4+x) : (7-x) = (2✕5) : (3 ✕ 4)
বা, (4+x) : (7-x) = 5:6
বা, 6 (4+x) = 5 (7-x)
বা, 24 +6x = 35-5x
বা , 11x = 11
বা , x = 1
∴ 1 সংখ্যাটি 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তর পদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মাণ 2 : 3 এবং 5 : 4 এর যৌগিক অনুপাত হবে ।
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন