Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কষে দেখি ২৪
কষে দেখি 24
2. দেখাই যে :
(i) sin66°-cos24°= 0
sin66°-cos24°
= sin66° – cos(90°-66°)
= sin66°-sin66° [যেহেতু cos(90°-ϴ)=sinϴ]
= 0 [প্রমাণিত ]
(ii) cos257° + cos2 33°=1
cos257° + cos2 33°
= cos257° + cos2 (90°-57°)
= cos2 57° + sin2 57° [যেহেতু, cos(90°-ϴ)=sinϴ]
= 1 [যেহেতু , sin2ϴ+cos2 ϴ=1]
∴ cos257° + cos2 33°=1 [প্রমাণিত]
(iii) cos2 75° -sin215°=0
cos2 75° -sin215°
= cos2 75° – sin2 (90°-75°)
= cos2 75° – cos2 75°[যেহেতু ,sin(90°-ϴ)=cosϴ]
= 0 [প্রমাণিত ]
(iv) cosec 248°-tan242°=1
cosec 248°-tan242°
=cosec2 48° – tan2(90°-48°)
= cosec2 48° – Cot2 48° [যেহেতু tan(90°-ϴ) = cotϴ]
= 1 [প্রমাণিত ] [যেহেতু cosec2 ϴ-cot2ϴ=1]
(v) sec70°sin20°+cos20°cosec70°=2
sec70°sin20°+cos20°cosec70°
=sec(90°-20°)sin20°+cos(90°-70°)cosec70°
= cosec20° sin20° + sin70° cosec70° [যেহেতু sec(90°-ϴ)=cosecϴ এবং cos(90°-ϴ)=sinϴ]
= 1+1
= 2 [ প্রমাণিত ]
3. যদি α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয় , তাহলে দেখাই যে ,
(i) sin2 α+sin2 β =1
সমাধানঃ
যেহেতু α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ
∴ α+β =90°
বা, β = 90°-α
∴ sin2 α+sin2β
= sin2α + sin2 (90°-α)
= sin2α+cos2α [যেহেতু sin(90°-ϴ)=cosϴ]
= 1
∴ sin2 α+sin2 β=1 [প্রমাণিত ]
সমাধানঃ
যেহেতু αও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ
∴ α+β =90°
বা, β = 90°-α
সমাধানঃ
সমাধানঃ
7. দেখাই যে , cosec222° cot268° = sin222° +sin268° +cot2 68°
সমাধানঃ
বামপক্ষঃ
cosec222° cot268°
= cosec222° cot2 (90°-22°)
= cosec2 22° tan2 22°
= sec222°
= sec2(90°-68°)
= cosec2 68°
ডানপক্ষঃ
sin222° +sin268° +cot2 68°
= sin222°+sin2(90°-22°)+cot268°
= sin222°+cos222°+cot268°
= 1+cot2 68°
= cosec268°
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
সমাধানঃ
P+Q=90°
বা, Q = 90°-P
বামপক্ষঃ
= cosP = ডানপক্ষ
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
সমাধানঃ
cot12° cot38° cot52° cot78°cot60°
=cot12° cot38° cot(90°-38°) cot(90°-12°) cot60°
= cot12° cot38° tan38° tan12° cot60°
10. O কেন্দ্রীয় যেকোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যেকোনো একটি বিন্দু । এবার A,C ;B,C এবং O ,C যুক্ত করে দেখাই যে,
(i) tan ∠ABC = cot ∠ACO
(ii) sin2 ∠BCO +sin2 ∠ACO =1
(iii) cosec2 ∠CAB-1=tan2 ∠ABC
সমাধানঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AOB একটি ব্যাস । A,C ;B,C এবং O,C যুক্ত করা হল ।
স্পষ্টতই ∠ACB =90° [ যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ ]
∴ ∠ACO+∠BCO =90°
বা, ∠ACO =90°-∠BCO
এবং ABC ত্রিভুজে ∠CAB +∠ABC=90°
বা, ∠ABC = 90°-∠CAB
বা, ∠CAB = 90°-∠ABC
(i) tan ∠ABC
= tan (90°-∠CAB) [যেহেতু ∠ABC = 90°-∠CAB]
=cot ∠CAB [যেহেতু tan(90°-ϴ)=cotϴ]
= cot ∠ACO [ যেহেতু ∠CAB =∠ACO কারণ OC=OA(একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)]
∴ tan ∠ABC = cot ∠ACO [প্রমাণিত ]
(ii) sin2 ∠BCO+sin2 ∠ACO
= sin2 ∠BCO + sin2 (90°-∠BCO) [যেহেতু ∠ACO =90°-∠BCO]
= sin2 ∠BCO +cos2 ∠BCO [যেহেতু sin(90°-ϴ)=cosϴ]
= 1
∴ sin2 ∠BCO+sin2∠ACO =1[প্রমাণিত ]
(iii) cosec2 ∠CAB -1
= cosec2(90°-∠ABC)-1 [যেহেতু ∠CAB = 90°-∠ABC]
= sec2∠ABC -1 [যেহেতু cosec(90°-ϴ)=secϴ]
= tan2 ∠ABC
∴ cosec2 ∠CAB -1 = tan2 ∠ABC [প্রমাণিত ]
11.ABCD একটি আয়তকার চিত্র । A,C যুক্ত করে প্রমাণ করি যে ,
(i) tan∠ACD = cot∠ACB
সমাধানঃ
যেহেতু ABCD একটি আয়তক্ষেত্র
∴ ∠BCD =90°
বা, ∠ACB+∠ACD =90°
বা, ∠ACD = 90°-∠ACB
এবং ∠BAD=90°
বা, ∠BAC+∠CAD=90°
বা, ∠CAD = 90°-∠BAC
(i) tan ∠ACD
= tan (90°-∠ACB) [যেহেতু, ∠ACD=(90°-∠ACB)]
= cot ∠ACB [যেহেতু, tan (90°-ϴ)=cotϴ]
∴ tan ∠ACD= cot ∠ACB [প্রমাণিত ]
(ii) tan2 ∠CAD +1
= tan 2 (90°-∠BAC)+1 [ যেহেতু∠CAD=(90°-∠BAC)]
= cot2 ∠BAC +1 [যেহেতু tan (90°-ϴ)=cotϴ]
= cosec 2 ∠BAC
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) (sin43°cos47° +cos43°sin47° )-এর মান
(a) 0
(b) 1
(c ) sin4°
(d) cos4°
Ans: (b) 1
সমাধানঃ
(sin43°cos47° +cos43°sin47° )
= sin43° cos(90°-43°) + cos43° sin(90°-43°)
= sin43°✕ sin43° +cos43°✕ cos43°
= sin243° +cos243°
= 1
(iii) {cos(40°+ϴ)-sin(50°-ϴ)}-এর মান
(a) 2cosϴ
(b) 7sinϴ
(c ) 0
(d) 1
Ans: (c ) 0
সমাধানঃ
{cos(40°+ϴ)-sin(50°-ϴ)}
= cos(40°+ϴ)-sin{90°-(40°+ϴ)}
= cos(40°+ϴ) – cos(40°+ϴ)
= 0
(a) sin A/2
(b) cosA/2
(c ) sinA
(d) cosA
Ans: (b) cosA/2
সমাধানঃ
= cos A/2
(v) A+B=90° এবং tan A =3/4 হলে CotB –এর মান
(a) ¾
(b) 4/3
(c ) 3/5
(d) 4/5
Ans: (a) ¾
সমাধানঃ A+B =90°
বা, B = 90°-A
∴ cotB
= cot(90°-A)
= tanA
= ¾
(B) নীচের বিবৃতি গুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) cos54° এবং sin36° এর সরলতম মান সমান ।
উত্তরঃ সত্য
সমাধানঃ cos 54° = cos(90°-36°) =sin36°
(ii) (sin12°-cos78°)-এর সরলতম মান 1.
উত্তরঃ মিথ্যা
সমাধানঃ (sin12°-cos78°)
= sin12° – cos(90°-12°)
= sin12°-sin12°
= 0
(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) (tan15°✕tan45°✕tan60°✕tan75°)-এর মান _____
উত্তরঃ √3
সমাধানঃ (tan15°✕tan45°✕tan60°✕tan75°)
= tan 15°✕1✕√3✕tan(90°-15°)
= tan15° ✕√3 ✕ cot15°
(ii) (sin12°✕cos18°✕sec78°✕cosec72°)-এর মান ______
উত্তরঃ 1
সমাধানঃ (sin12°✕ cos18° ✕ sec78° ✕ cosec72°)
= sin12°✕ cos18° ✕ sec(90°-12°)✕ cosec(90°-18°)
= sin12°✕cos18°✕cosec12°✕ sec18°
= 1
(iii) A এবং B পরস্পর পূরক কোণ হলে, sinA = _____
উত্তরঃ cosB
সমাধানঃ যেহেতু A এবং B পরস্পর পূরক
∴ A+B =90°
বা, A = 90°-B
sinA = sin(90°-B) =cosB
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) sin10ϴ = cos8ϴ এবং 10ϴ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে , tan9ϴ এর মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ sin10ϴ = cos8ϴ
বা, sin 10ϴ = sin(90°-8ϴ)
বা, 10ϴ=90°-8ϴ
বা, 18ϴ =90°
বা, ϴ= 90°/18
বা, ϴ=5°
∴ tan9ϴ
= tan (9✕5°)
= tan45°
=1
∴ tan9ϴ=1
(ii) tan4ϴ✕ tan6ϴ=1 এবং 6ϴ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে , ϴএর মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ tan4ϴ✕tan6ϴ=1
বা, tan6ϴ= 1/tan4ϴ
বা, tan6ϴ = cot4ϴ
বা, tan6ϴ = tan(90°-4ϴ)
বা, 6ϴ=90°-4ϴ
বা, 10ϴ = 90°
বা, ϴ = 90°/10
বা, ϴ = 9°
সমাধানঃ
(iv) (tan1°✕tan2°✕tan3°……………. tan89°)
সমাধানঃ
(tan1°✕tan2°✕tan3°……. tan89°)
=tan1°✕tan2°✕tan3°……tan44°✕tan45°✕tan46°…….tan87°✕tan88°✕tan89°
=tan1°✕tan2°✕tan3°…….tan44°✕1✕tan(90°-44°)…….tan(90°-3°)✕tan(90°-2°)✕tan(90°-1°)
=tan1°✕tan2°✕tan3°……tan44°✕cot44°……cot3°✕cot2°✕cot1°
=(tan1°✕cot1°)✕(tan2°✕cot2°)✕(tan3°✕cot3°)……(tan44°✕cot44°)
=1✕1✕1…..1 [যেহেতু tanϴ✕cotϴ=1]
=1
(v) sec5A=cosec(A+36°) এবং 5A ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে ,A এর মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ sec5A=cosec(A+36°)
বা, sec5A = sec{90°-(A+36°)} [যেহেতু sec(90°-ϴ)=cosecϴ]
বা, 5A = 90°-(A+36°)
বা, 5A=90°-A-36°
বা, 5A+A=90°-36°
বা, 6A = 54°
বা, A =54°/6
বা, A =9°
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন