Koshe Dekhi 25 Class 10|উচ্চতা ও দূরত্ব কষে দেখি ২৫
কষে দেখি ২৫
1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয় ,তাহলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
ধরি , AB নারকেল গাছের গোড়া B থেকে 20 মিটার দূরে C বিন্দু থেকে গাছটির অগ্রভাগ অর্থাৎ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°
এখন সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে ,
বা, AB = 20√3
∴ নারকেল গাছের উচ্চতা 20√3 মিটার ।
2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয় । স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB হল স্তম্ভটির দৈর্ঘ্য । সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য BC=9মিটার ।
এখন ABC ত্রিভুজের ∠ABC = 90° এবং ∠ACB = 30°
∴ স্তম্ভটির উচ্চতা 3√3 মিটার ।
3. 150মি. লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে ।ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে উড়তে থাকে ,তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB হল মাঠ থেকে ঘুড়িটির উচ্চতা । AC হল সুতোর দৈর্ঘ্য ।
∴ AC=150 মিটার । ∠ACB = 60°
এখন ABC ত্রিভুজে ∠ABC =90° এবং ∠ACB = 60°
বা, AB = 150√3/2
বা, AB = 75√3
∴ মাঠ থেকে ঘুড়িটির উচ্চতা 75√3 মিটার ।
4. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পুঁতলাম । এবার নদীর পাড় ধরে ওই খুঁটি থেকে 7√3 মিটার সরে গিয়ে দেকছি নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ 60° কোণে রয়েছে । নদীটি কত মিটার চওড়া হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরাযাক , A বিন্দুতে গাছটির অবস্থান এবং B বিন্দুতে খুঁটি পোঁতা হয়েছে । এখন B বিন্দু থেকে 7√3 মিটার দূরে C বিন্দু থেকে গাছটির পাদদেশ অর্থাৎ A বিন্দু , 60° কোণে রয়েছে ।
∴ ∆ ABC ত্রিভুজে ∠ABC = 90° এবং BC =7√3 মিটার এবং ∠ACB=60°
বা, AB = 21
∴ নদীটি 21 মিটার চওড়া ।
5. ঝরে একটি টেলিগ্রাফপোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 8√3 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিকরেখার সঙ্গে 30°কোণ উৎপন্ন করেছে।পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরাযাক , PQ টেলিগ্রাফ পোস্টটি R বিন্দুতে মচকে ছিল এবং মচকে যাওয়ার ফলে পোস্টটি 8√3 মিটার দূরে S বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে । ∴ PS = 8√3 মিটার এবং PSR =30°
ধরি, পোস্টটি মাটি থেকে x মিটার উপরে ভেঙ্গেছিল । ∴ PR = x মিটার
এখন , PSR ত্রিভুজে RPS =90° এবং RSP =30°
∴ টেলিগ্রাফ পোস্টটি মাটি থেকে 8 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল ।
আবার ত্রিভুজ PRS এর ক্ষেত্রে
বা, RS = 16
যেহেতু , RS = RQ
∴ RQ = 16 মিটার
∴ PQ = PR+RQ =(8+16) মিটার = 24 মিটার
∴ টেলিগ্রাফ পোস্টটির উচ্চতা 24 মিটার ।
6. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দুপাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে । প্রথম বাড়ির দেওয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মইয়ের গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেওয়ালে ঠেকানো যায় ,তবে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে ।কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালে লাগানো যায় ,তাহলে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে ।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে হিসাব করে লিখি ।
(iii) রাস্তাটি কত চওড়া নির্ণয় করি ।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB ও CD হল BC রাস্তার দুপাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি । B বিন্দু থেকে 6 মিটার দূরে O বিন্দু থেকে মইটিকে একটি বাড়ির দেওয়ালে ঠেকান হলে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে । ∴ ∠AOB =30°.
আবার ওই একই বিন্দু O থেকে মইটিকে অপর বাড়ির দেওয়ালে ঠেকালে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60°কোণ উৎপন্ন করে ।
∴ ∠COD= 60°
(i) ধরাযাক , মইটির দৈর্ঘ্য x মিটার । ∴ OA =OD=x মিটার
এখন , ABO ত্রিভুজে ∠ABO =90° এবং ∠AOB =30°
∴ মইটির দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার ।
(ii) OCD ত্রিভুজে ∠OCD=90° এবং ∠COD = 60°
∴ দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালের গোড়া থেকে মইয়ের গোড়া 2√3 মিটার দূরে রয়েছে ।
(iii) BC=OB+OC=6+2√3 =2(3+√3)
∴ রাস্তাটি 2(3+√3) মিটার চওড়া ।
(iv) ∠OCD ত্রিভুজে ∠OCD=90° এবং ∠COD = 60°
∴ দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে ।
7.যদি একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হয় এবং সেই বিন্দু ও চিমনির গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত ওই বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দূরের অপর একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হয় , তাহলে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি । [√3-এর আসন্ন মান 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি ]
সমাধানঃ
ধরাযাক , PQ চিমনির গোড়া অর্থাৎ Q বিন্দুর সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত R বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 60°
∴ ∠QRP = 60°
আবার Q বিন্দুর সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত R বিন্দু থেকে 24 মিটার দূরে S বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়া অর্থাৎ P বিন্দুর উন্নতি কোণ 30° ।
∴ ∠QSP=30° এবং RS=24মিটার
এখন PQR ত্রিভুজে ∠PQR=90°এবং ∠PRQ = 60°
8. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে , একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায় । খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করি । [√3-এর আসন্ন মান 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি ]
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB হল খুঁটির দৈর্ঘ্য । যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য হয় BD এবং সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য হয় BC , অর্থাৎ খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য CD একক কমে যায় ।
∴ CD = 3 মিটার
ABC ত্রিভুজের ∠ABC=90° এবং ∠ACB =60°
এখন ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
আবার ABD ত্রিভুজের ∠ABD=90° এবং ∠ADB =45°
ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
9. 9√3 মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয় । চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক ,চিমনির উচ্চতা AB এবং তিনতলা বাড়ির উচ্চতা CD । তিনতলা বাড়ির ছাদ অর্থাৎ D বিন্দু থেকে চিমনির চূড়া অর্থাৎ A বিন্দুর উন্নতি কোণ 30° । তিনতলা বাড়ির উচ্চতা 9√3 মিটার ∴ CD =9√3 মিটার
চিমনি ও তিনতলা বাড়ির দূরত্ব 30মিটার
∴ BC = 30 মিটার ।
এখন DE ⊥ AB অঙ্কন করা হল ।
∴ ∠ADE=30° এবং CD= BE=9√3 মিটার এবং BC=ED=30 মিটার
এখন, AED সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
∴ চিমনির উচ্চতা AB =AE+EB = (10√3+9√3) মিটার = 19√3 মিটার ।
10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দুরত্বে থাকে ,তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে কত দূরত্বে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB হল লাইট হাউসের উচ্চতা । A বিন্দু থেকে C বিন্দুতে এবং D বিন্দুতে অবস্থিত জাহাজের মাস্তুলের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° । আবার লাইট হাউস থেকে কাছের জাহাজের দূরত্ব 150 মিটার ।
∴ BC =150 মিটার ।
AE || BD অঙ্কন করা হল
∴ ∠EAC = 60°এবং ∠EAD = 30°
আবার , ∠ACB = ∠EAC [একান্তর কোণ] এবং ∠EAD = ∠ADB [একান্তর কোণ ]
∴ ∠ACB =60° এবং ∠ADB = 30°
ABC ত্রিভুজে ∠ACB = 60° এবং ∠ABC = 90°
আবার , ABD ত্রিভুজে ∠ABD =90° এবং ∠ADB = 30°
বা, 150+CD= 450
বা, CD = 300
∴ BD = BC+CD = 150+300=450মিটার
∴ লাইট হাউস থেকে দূরের জাহাজের দূরত্ব 450 মিটার এবং লাইট হাউসের উচ্চতা 150√3 মিটার।
11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60°এবং 30° ; বাড়িটির উচ্চতা 16 মিটার হলে , মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB হল বাড়ির উচ্চতা এবং CD হল মনুমেন্টের উচ্চতা ।
∴ AB= 16 মিটার ।
বাড়ির ছাদ অর্থাৎ A বিন্দু থেকে মনুমেন্টের চূড়া অর্থাৎ D বিন্দুর উন্নতি কোণ 60 এবং মনুমেন্টের গোড়ার অর্থাৎ C বিন্দুর অবনতি কোণ 30° ।
∴ ∠DAE = 60°
এখন AE ⊥ CD অঙ্কন করা হল ।
∴ AE || BC
∴ ∠EAC =একান্তর কোণ∠ACB = 30°
যেহেতু , AE || BC এবং AB||EC এবং ∠ABC=∠BCE= 90°
∴ ABCE একটি আয়তক্ষেত্র ।
∴ AB =CE =16 মিটার এবং BC=AE
এখন , ABC ত্রিভুজে ∠ABC = 90° এবং ∠ACB = 30°
∴বাড়ি থেকে মনুমেন্টের দূরত্ব 16√3 মিটার ।
এখন , AED ত্রিভুজে ∠AED = 90° এবং ∠DAE =60°
বা, DE = AE√3
বা, DE = 16√3 ✕√3 [ যেহেতু ,AE=BC]
বা, DE = 48
∴ মনুমেন্টের উচ্চতা = (DE+EC) = (48+16)মিটার = 64 মিটার ।
12. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছি । সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে এবং সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে থাকে তখন প্রতি ক্ষেত্রে ঘুড়িটি আমার থেকে কত উপরে থাকবে হিসাব করে লিখি ।এদের মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক , যখন ঘুড়ির সুতো অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে তখন ঘুড়ির উচ্চতা AB আবার যখন ঘুড়ির সুতো অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে তখন ঘুড়ির উচ্চতা EB । প্রতিক্ষেত্রে সুতোর দৈর্ঘ্য 250 মিটার । ∴ DE=AC=250মিটার
এখন , ABC ত্রিভুজে ∠ABC =90° এবং ∠ACB = 60°
∴ যখন ঘুড়ির সুতো অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে তখন ঘুড়ির উচ্চতা হবে 125√3 মিটার ।
আবার যখন যখন ঘুড়ির সুতো অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে তখন ঘুড়ির উচ্চতা হবে 125√2 মিটার ।
অর্থাৎ এদের মধ্যে যেহেতু 125√3 মিটার দৈর্ঘ্যটি বড় , ∴ যখন ঘুড়ির সুতো অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে তখন ঘুড়ির উচ্চতা বেশি হবে ।
13. উড়োজাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং তাঁর ঠিক বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60° ও 30° অবনতি কোণে দেখতে পান । ওই সময় উড়োজাহাজটি যদি ঠিক 545√3 মিটার উঁচুতে থাকে ,তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক ,H ,S এবং P যথাক্রমে হাওড়া স্টেশন , শহিদ মিনার এবং উড়োজাহাজের অবস্থান ।
∴ P বিন্দু থেকে H বিন্দুর অবনতি কোণ 60° এবং P বিন্দু থেকে S বিন্দুর অবনতি কোণ 30° এবং মাটি থেকে উড়োজাহাজটির উচ্চতা OP = 545√3 মিটার ।
এখন , P বিন্দু দিয়ে SH সরলরেখার সমন্তরাল সরলরেখা QR টানা হল
∴ ∠QPS = 30° এবং ∠RPH = 60°
∴ ∠QPS =একান্তর কোণ∠PSO = 30°
এবং ∠RPH =একান্তর কোণ∠PHO = 60°
এখন , PSO ত্রিভুজে ∠POS=90°এবং ∠PSO = 30°
∴ SH = SO+OH = (1635+545)মিটার = 2180 মিটার
∴ হাওড়া স্টেশন থেকে শহিদ মিনারের দূরত্ব 2180 মিটার ।
14.একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে । রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° হয় । তিনতলা বাড়ির উচ্চতা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
AC হল তিনতলা বাড়ির উচ্চতা এবং CD হল পতাকার দৈর্ঘ্য ।রাস্তার উপর একটি বিন্দু B থেকে পতাকার পাদদেশের অর্থাৎ C বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° এবং B বিন্দু থেকে পতাকার চূড়া অর্থাৎ D বিন্দুর উন্নতি কোণ 50°।
∴CD =3.3 এবং ∠ABC = 45° এবং ∠ABD = 50°
এখন , ABC ত্রিভুজে ∠BAC =90° এবং ∠ABC =45°
বা, AC = 17.188
বা, AC = 17.19(প্রায়)
∴ তিনতলা বাড়ির উচ্চতা 17.19 মিটার প্রায় ।
15. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার।দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে ,প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ হিসাব করে লিখি।
16. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে কোনো সমতলে অবস্থিত একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয় , উন্নতি কোণ 30° হলে ছায়ার দৈর্ঘ্য তার চেয়ে 60 মিটার বেশি হয় । স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB হল স্তম্ভের দৈর্ঘ্য । যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 45° তখন AB স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য হয় BC এবং সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন ছায়ার দৈর্ঘ্য CD=60 মিটার বৃদ্ধি পায় এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য হয় BD
∴ BD = BC+CD = (BC+60)মিটার
ABC ত্রিভুজের ∠ABC =90° এবং ∠ACB = 45°
বা, AB = BC —(i)
ABD ত্রিভুজের ∠ABD =90° এবং ∠ADB = 30°
বা, AB = 30(√3+1)=30(1.732+1)=30✕ 2.732 =81.96
∴ AB=81.96 মিটার (প্রায়)
∴ স্তম্ভের দৈর্ঘ্য 81.96 মিটার (প্রায়) ।
17. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখায় কোনো বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ 30°থেকে 60° হল । চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরাযাক , PQ চিমনির পাদদেশের সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখার B এবং A বিন্দু থেকে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ যথাক্রমে 30° এবং 60° ; অর্থাৎ AB=50 মিটার ।
এখন PAQ ত্রিভুজের ∠PQA =90 এবং ∠PAQ =60
18. 126 ডেসিমি. উঁচু একটি উল্লম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে । খুঁটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক, AD খুঁটি x ডেসিমি. উচ্চতায় C বিন্দুতে মচকে গিয়েছিল । ∴ AD=126 ডেসিমি. এবং AC=x ডেসিমি.
∴ CD=BC=(126-x)ডেসিমি.
এখন ABC ত্রিভুজে ∠BAC =90° এবং ∠ABC =30°
∴ খুঁটিটি মাটি থেকে 42 ডেসিমি. উঁচুতে ভেঙ্গেছিল ।
আবার ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
বা, AB = 42√3
∴ খুঁটিটির অগ্রভাগ 42√3 ডেসিমিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল ।
19. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পর দক্ষিন দিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল । পাখিটি যদি একই সরলরেখা বরাবর 50√3 মিটার উঁচুতে উড়ে থাকে ,তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
ধরি , মোহিত BC মাঠের A বিন্দুতে দাঁড়িয়ে পাখিটিকে প্রথমে P বিন্দুতে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে Q বিন্দুতে 60° উন্নতি কোণে দেখে । যেহেতু পাখিটি একই সরলরেখায় উড়ছিল ,তাই PQ || BC ও A বিন্দু থেকে পাখিটির উচ্চতা AM = 50√3 মিটার
এখন, ∠APM = একন্তর ∠BAP = 30° [যেহেতু,PQ||BC]
এবং , ∠AQM = একান্তর∠QAC = 60° [যেহেতু,PQ||BC]
সমকোণী ত্রিভুজ APM থেকে পাই ,
সমকোণী ত্রিভুজ AMQ থেকে পাই
∴ PQ =PM+MQ =(150+50)মিটার = 200 মিটার
20. 5√3 মিটার উঁচু রেলওয়ে ব্রিজে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে দেখলেন । কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনতি কোণে দেখলেন । ট্রেনটির গতিবেগ মিটার প্রতি সেকেন্ডে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি ,অমিতাদিদি XY রেলওয়ে ওভারব্রিজের Z বিন্দুতে দাঁড়িয়ে ট্রেনের ইঞ্জিনকে প্রথমে S বিন্দুতে এবং 2 সেকেন্ড পরে E বিন্দুতে দেখলেন । অবনতি কোণ ∠XZS =30° এবং ∠YZE =45°
ZM = রেলওয়ে ওভারব্রিজের উচ্চতা = 5√3 মিটার
আবার যেহেতু XY||SE
∴ ∠ZSM = একান্তর ∠XZS = 30°
এবং ∠ZEM = একান্তর ∠YZE =45°
সমকোণী ত্রিভুজ ZSM থেকে পাই
সমকোণী ত্রিভুজ ZEM থেকে পাই
∴ SE = SM+ME =(15+5√3)=15+5✕1.732 =15+8.660=23.660
21.একটি নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সেতু আছে ।সেতুটির একটি পাড়ের প্রান্ত থেকে নদীর পাড় ধরে কিছু দূর গেলে সেতুর অপর প্রান্তটি 45° কোণে এবং পাড় ধরে আরও 400 মিটার দূরে সরে গেলে সেই প্রান্তটি 30° কোণে দেখা যায় । সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
ধরি , নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্ব ভাবে অবস্থিত একটি সেতু হল AB এবং তার B প্রান্ত থেকে কিছু দূরে C বিন্দু থেকে সেতুর অপর প্রান্ত A বিন্দুর সাপেক্ষে উৎপন্ন কোণ ∠BCA =45° এবং C বিন্দু থেকে আরও 400 মিটার দূরে D বিন্দু থেকে A বিন্দুর সাপেক্ষে উৎপন্ন কোণ ∠BDA =30° এবং CD=400 মিটার ।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই ,
22. একটি পার্কের একপ্রান্তে অবস্থিত 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে পার্কের অপর পাড়ে অবস্থিত একটি ইটভাটার চিমনির পাদদেশ ও অগ্রভাগ যথাক্রমে 30° অবনতি কোণ এবং 60° উন্নতি কোণে দেখা যায় । ইটভাটার চিমনির উচ্চতা এবং ইটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি
সমাধানঃ
ধরি , AB একটি 15 মিটার উঁচু বাড়ি এবং CD ইটভাটার চিমনি । বাড়ির ছাদ A থেকে চিমনির পাদদেশ D এর অবনতি কোণ এবং অগ্রভাগ C এর উন্নতি কোণ যথাক্রমে 30° এবং 60°
A বিন্দু থেকে BD এর সমান্তরাল সরলরেখা CD কে E বিন্দুতে ছেদ করে । যেহেতু AE ||BD
∴ ∠ADB = একান্তর ∠EAD =30°
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই ,
বা, BD = 15√3
∴ ইট ভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব 15√3 মিটার ।
আবার , AE=BD = 15√3
সমকোণী ত্রিভুজ AEC থেকে পাই ,
বা, CE = 45
∴ CD = CE+ED= CE+AB = 45+15=60
∴ চিমনির উচ্চতা 60 মিটার ।
23. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করি , (i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত (ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে আছে ।
সমাধানঃ (i)
ধরাযাক , P উড়োজাহাজটির অবস্থান এবং A ও B যথাক্রমে সোজা রাস্তার উপর P –এর বিপরীত দিকে পরপর দুটি কিলোমিটার ফলক । অর্থাৎ AB =1 কিলোমিটার ।
আবার , P থেকে কিলোমিটার ফলক দুটির অবনতি কোণ জথক্রমে 60° ও 30° .
∴ ∠APN=60° এবং ∠BPM = 30°
PQ ⊥AB অঙ্কন করা হল ।
এখন MN || AB ,∴ ∠PAQ = একান্তর ∠APN =60° এবং ∠PBQ = একান্তর ∠BPM=30°
∴ ∆APQ এর ∠AQP =90° এবং ∠PAQ =60°
(ii)
ধরি ,যখন উড়োজাহাজটির অবস্থান A বিন্দুতে ছিল তখন পরস্পর দুটি কিলোমিটার ফলক P এবং Q এর অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° ছিল এবং উড়োজাহাজটি AB উচ্চতায় উড়ছিল ।
ধরি , AM||BQ
∴ ∠MAP = 60° এবং ∠MAQ =30°
∠APB = একান্তর কোণ ∠MAP = 60°
এবং ∠AQB = একান্তর কোণ ∠MAQ = 30°
এক্ষেত্রে PQ = 1কিমি.
সমকোণী ত্রিভুজ APB থেকে পাই
∴ AB = √3/2 কিমি. =(√3/2✕ 1000)মিটার =500√3 মিটার
সুতরাং রাস্তা থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা 500√3 মিটার ।
24.অতিসংক্ষিপ্ত উত্তধর্মী প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) মাঠের উপর একটি বিন্দু থেকে মোবাইল টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 60 এবং টাওয়ারের গোড়া থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব 10 মিটার । টাওয়ারের উচ্চতা
(a) 10 মিটার
(b) 10√3 মিটার
(c) 10/√3 মিটার
(d) 100 মিটার
Ans: (b) 10√3 মিটার
সমাধানঃ
ধরি , AB হল টাওয়ারের উচ্চতা এবং মাঠের উপর C বিন্দু থেকে টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 60°
∴ ∠ACB =60°
এবং BC = 10 মিটার
ABC ত্রিভুজের ∠ABC =90° এবং ∠ACB = 60°
∴ টাওয়ারের উচ্চতা 10√3 মিটার ।
(ii) ϴ এর মান
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 75°
Ans:(a) 30°
∴ ϴ=30°
(iii) তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে মাটিতে পড়ে থাকা একটি বাক্সকে যত কোণে দেখলে বাড়ির উচ্চতা ও বাড়ি থেকে বাক্সটির দূরত্ব সমান হয় তা হল
(a) 15°
(b) 30°
(c ) 45°
(d) 60°
Ans: (c ) 45°
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB হল তিনতলা বাড়ি । C হল বাক্সের অবস্থান ।
ধরি , ছাদ A থেকে বাক্সকে ϴ কোণে দেখলে বাড়ির উচ্চতা এবং বাড়ি থেকে বাক্সের দূরত্ব সমান হয় ।
∴ AB = BC
(iv) একটি টাওয়ারের উচ্চতা 100√3 মিটার । টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে 100 মিটার দূরে একটি বিন্দু থেকে টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ
(a) 30°
(b) 45°
(c ) 60°
(d) কোনোটিই নয়
Ans: (c ) 60°
সমাধানঃ
ধরাযাক, AB হল টাওয়ারের উচ্চতা । ∴ AB = 100√3
ধরি , AB টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে 100 মিটার দূরের একটি বিন্দু C থেকে টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ ϴ
∴ ∠ACB =ϴ এবং BC = 100 মিটার
∴ টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 60°
(v) একটি পোস্টের ভূমিতলের ছায়ার দৈর্ঘ্য পোস্টের উচ্চতার √3 গুন হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ
(a) 30°
(b) 45°
(c ) 60°
(d) কোনোটিই নয়
Ans: (a) 30°
সমাধানঃ
ধরাযাক , পোস্টটির উচ্চতা AB এবং পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য BC এবং সূর্যের উন্নতি কোণ ϴ
∴ BC = √3 AB
(B) নীচের বিবৃতি গুলি সত্যি না মিথ্যা লিখিঃ
(i) ABC এর ∠B=90° , AB=BC হলে ∠C =60°
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) PQ একটি বাড়ির উচ্চতা , QR ভূমি । P থেকে R বিন্দুর অবনতি কোণ ∠SPR ; সুতরাং ∠SPR =∠PRQ
উত্তরঃ সত্য ।
যেহেতু , PS || QR এবং PR ভেদক
∴ ∠SPR = ∠PRQ [একান্তর কোণ]
(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) সূর্যের উন্নতি কোণ 30° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে , একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য __________ পায় । (বৃদ্ধি / হ্রাস )
উত্তরঃ হ্রাস পাবে ।
(ii) সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে , একটি পোস্টের দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘ্য _________ হবে ।
উত্তরঃ সমান হবে ।
(iii) যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 45° –এর _____________ তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য স্তম্ভের উচ্চতা থেকে কম ।
উত্তরঃ বেশি
25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 20√3 মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক, AB হল মাটি থেকে ঘুড়ির উচ্চতা । C বিন্দু থেকে A বিন্দুতে ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং AC সুতোর দৈর্ঘ্য 20√3 মিটার ।
ABC ত্রিভুজের ∠ABC =90° এবং ∠ACB =60°
∴মাটি থেকে ঘুড়িটির উচ্চতা 30 মিটার ।
(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র ABC –এর অতিভুজ AC এর দৈর্ঘ্য 100 মিটার এবং AB =50√3 মিটার হলে , ∠C এর মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
ABC সমকোণী ত্রিভুজে , C কোণের সাপেক্ষে AB হল লম্ব এবং AC হল অতিভুজ ।
বা, sin∠C =sin60°
বা, ∠C = 60°
(iii) ঝরে একটি গাছ মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ এমনভাবে ভূমি স্পর্শ করেছে যে গাছটির অগ্রভাগ থেকে গোড়ার দূরত্ব এবং বর্তমান উচ্চতা সমান । গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে কত কোণ করেছে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB গাছটি ঝরে D বিন্দুতে মচকে গিয়ে গাছটির অগ্রভাগ C বিন্দুতে ভূমি স্পর্শ করেছে ।
প্রশ্নানুসারে , AD =AC
∴গাছটির ভূমির অগ্রভাগ ভূমির সাথে 45° কোণ করেছে ।
(iv) ABC সমকোণী ত্রিভুজে B =90°, AB –এর উপর D এমন বিন্দু যে AB:BC:BD = √3 :1:1 , ∠ACD –এর মান কত হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি , AB ,BC এবং BD –এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে √3x একক , x একক এবং x একক
ত্রিভুজ ABC এর , ∠ABC =90°
∴ ∠ACD = ∠ ACB – ∠ DCB = 60°-45° =15°
(v) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত √3 :1 হলে , সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
ধরি , AB স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য BC যখন সূর্যের উন্নতি কোণ ϴ ।
এখন ABC ত্রিভুজের ∠ABC =90°
বা, ϴ=30° ∴ সূর্যের উন্নতি কোণ 30°
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন