কষে দেখি 26.4
1. আমাদের 16 জন বন্ধুর প্রতিদিন স্কুলে জাতায়াত ও অন্যান্য খরচের জন্য প্রাপ্ত টাকার পরিমান ,
15, 16, 17, 18, 17, 19, 17, 15, 15, 10, 17, 16, 15, 16, 18, 11
আমাদের বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত তথ্য গুলি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা তৈরি করি ঃ
| খরচ ( টাকায় ) ( xi ) | পরিসংখ্যা (fi) |
| 10 | 1 |
| 11 | 1 |
| 15 | 4 |
| 16 | 3 |
| 17 | 4 |
| 18 | 2 |
| 19 | 1 |
এক্ষেত্রে স্পষ্টতই 15 এবং 17 এর পরিসংখ্যা সবচেয়ে বেশি ( 4 বার ) ।
সুতরাং তথ্যটির সংখ্যাগুরু মান 15টাকা এবং 17 টাকা ।
2. নীচে আমাদের শ্রেণীর কিছু ছাত্রছাত্রী দের উচ্চতা ( সেমি.) হলো ;
131, 130, 130, 132, 131, 133, 131, 134, 131, 132, 132, 131, 133, 130, 132, 130, 133, 135, 131, 135, 131, 135, 130, 132, 135, 134, 133
ছাত্রছাত্রী দের উচ্চতার সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত তথ্যগুলি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা তৈরি করি ,
| উচ্চতা ( সেমি . ) | পরিসংখ্যা |
| 130 | 5 |
| 131 | 7 |
| 132 | 5 |
| 133 | 4 |
| 134 | 2 |
| 135 | 4 |
স্পষ্টতই 131 এর পরিসংখ্যা সর্বাধিক ( 7 বার ) ।
অর্থাৎ তথ্যগুলির সংখ্যা গুরু মান = 131 সেমি.
3. নীচের তথ্যের সংখ্যা গুরু মান নির্ণয় করি ।
(i) 8, 5, 4, 6, 7, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 2 , 3, 4
(ii) 15, 11, 10, 8, 15, 18, 17, 15, 10, 19, 10, 11, 10, 8, 19, 15, 10, 18, 15, 3, 16, 14, 17, 2
সমাধানঃ
(i) প্রদত্ত তথ্যগুলি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা তৈরি করি ,
| সংখ্যা (xi) | পরিসংখ্যা (fi ) |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 4 | 12 |
| 5 | 9 |
| 6 | 2 |
| 7 | 1 |
| 8 | 1 |
স্পষ্টতই 4 এর পরিসংখ্যা সবথেকে বেশি ( 12 বার )
∴ সংখ্যা গুলির সংখ্যাগুরু মান 4 ।
(ii)প্রদত্ত তথ্য গুলি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা তৈরি করি ,
| সংখ্যা (xi) | পরিসংখ্যা ( fi ) |
| 2 | 1 |
| 3 | 1 |
| 8 | 2 |
| 10 | 5 |
| 11 | 2 |
| 14 | 1 |
| 15 | 5 |
| 17 | 1 |
| 18 | 2 |
| 19 | 2 |
এক্ষেত্রে স্পষ্টতই 10 এবং 15 এর পরিসংখ্যা সবথেকে বেশি ( 5 বার )
সুতরাং , প্রদত্ত সংখ্যা গুলির সংখ্যাগুরু মান 10 এবং 15 ।
4.আমাদের পাড়ার জুতোর দোকানে একটি বিসেশ কোম্পানির জুতো বিক্রির পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা হলো ;
| সাইজ (X i) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| পরিসংখ্যা ( fi) | 3 | 4 | 5 | 3 | 5 | 4 | 3 | 2 |
ওপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করি ,
সমাধানঃ
প্রদত্ত তালিকা থেকে স্পষ্টতই বলা যায় সাইজ 4 এবং সাইজ 6 সবচেয়ে বেশি 5 টি করে বিক্রি হয়েছে ।
∴ ওপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান = 4 ও 6
5. একটি প্রবেশিকা পরিক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করি ।
| বয়স ( বছরে ) | 16-18 | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 |
| পরীক্ষার্থীর সংখ্যা | 45 | 75 | 38 | 22 | 20 |
সমাধান ঃ
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মানের শ্রেণী = 18-20
সংখ্যাগুরু মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো
যেখানে,
l হলো সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর নিম্ন শ্রেণী সীমানা ।
h = সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী দৈর্ঘ্য ।
f1 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী পরিসংখ্যা ।
f0 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।
f2 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।
∴ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান
উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাগুরু মান 18.90 বছর।
6. শ্রেণীর পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষায় 80 জন ছাত্রছাত্রীর প্রাপ্ত নম্বরের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা দেখি ও সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি ।
| নম্বর | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 |
| ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা | 2 | 6 | 10 | 16 | 22 | 11 | 8 | 5 |
সমাধানঃ
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মানের শ্রেণী = 20-25
সংখ্যাগুরু মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো
যেখানে,
l হলো সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর নিম্ন শ্রেণী সীমানা ।
h = সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী দৈর্ঘ্য ।
f1 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী পরিসংখ্যা ।
f0 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।
f2 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।
∴ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান
উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাগুরু মান 21.76 (প্রায়)।
7. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি ,
| শ্রেণী | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 |
| পরিসংখ্যা | 5 | 12 | 18 | 28 | 17 | 12 | 8 |
সমাধানঃ
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মানের শ্রেণী = 15-20
সংখ্যাগুরু মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো
যেখানে,
l হলো সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর নিম্ন শ্রেণী সীমানা ।
h = সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী দৈর্ঘ্য ।
f1 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী পরিসংখ্যা ।
f0 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।
f2 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।
∴ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান
উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাগুরু মান 17.38 (প্রায়)।
8. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করি ।
| শ্রেণি | 35-54 | 55-64 | 65-74 | 75-84 | 85-94 | 95-105 |
| পরিসংখ্যা | 8 | 13 | 19 | 32 | 12 | 6 |
[সংকেত ঃ যেহেতু সংখ্যাগুরু্মান সংবলিত শ্রেণীর নিম্ন শ্রেণি- সীমানা নেওয়া হয়, তাই শ্রেণি- সীমাকে শ্রেণি- সীমানায় পরিনত করতে হবে । ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকের শ্রেণীগুলি শ্রেণি অন্তর্ভুক্ত গঠনে আছে , শ্রেণি বহির্ভূত পদ্ধতিতে পরিসংখ্যা বিভাজনের তালিকা নীচে দেওয়া হলো ,
| শ্রেণি – সীমা | শ্রেণি- সীমানা | পরিসংখ্যা |
| 35-54 | 44.5-54.5 | 8 |
| 55-64 | 54.5-64.5 | 13 |
| 65-74 | 64.5-74.5 | 19 |
| 75-84 | 74.5-84.5 | 32 |
| 85-94 | 84.5-94.5 | 12 |
| 95-105 | 94.5-104.5 | 6 |
ওপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণিটি হলো 74.5 -84.5
সংখ্যাগুরু মান নির্ণয়ের সূত্রটি হল
যেখানে,
l হলো সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর নিম্ন শ্রেণী সীমানা ।
h = সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী দৈর্ঘ্য ।
f1 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী পরিসংখ্যা ।
f0 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।
f2 = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।
∴ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান
উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাগুরু মান 78.44 (প্রায়)।
9. অতিসংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ঃ
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের মধ্যমা যে লেখচিত্রের সাহায্যে পাওয়া যায় তা হলো ,
(a) পরিসংখ্যা রেখা
(b) পরিসংখ্যা বহুভুজ
(c) আয়তলেখ
(d) ওজাইভ
উত্তরঃ (d) ওজাইভ
(ii) 6,7,x,8,y,14 সংখ্যা গুলির গড় 9 হলে ,
(a) x+y =21
(b) x+y= 19
(c) x-y= 21
(d) x-y=19
উত্তরঃ (b) x+y=19
সমাধানঃ
(6+7+x+8+y+14)/6 = 9
বা, 35+x+y = 54
বা, x+y = 54 -35
বা , x+y = 19
(iii) 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 তথ্যে 35 না থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায়
(a) 2
(b) 1.5
(c) 1
(d) 0.5
উত্তরঃ (d) 0.5
সমাধানঃ
এক্ষেত্রে n = 8
∴ মধ্যমা = ½ [ n/2তম সংখ্যা + {(n/2)+1}তম সংখ্যা ]
= ½ [ 8/2 তম সংখ্যা + {(8/2)+1}তম সংখ্যা ]
= ½ ( 4 তম সংখ্যা +5 তম সংখ্যা )
= ½ ( 36+37)
= ½ × 73
= 36.5
কিন্তু 35 না থাকলে n = 7
সেক্ষেত্রে মধ্যমা = (n+1)/2 তম মান
= (7+1)/2 তম মান
= 4 তম মান
= 37
সুতরাং মধ্যমা বৃদ্ধি পায় = 37- 36.5 = 0.5
(iv) 16 ,15, 17, 16, 15, x, 19, 17, 14, তথ্যের সংখ্যাগুরু মান 15 হলে x এর মান লেখ ।
(a) 15
(b) 16
(c) 17
(d) 19
উত্তরঃ (a) 15
এখানে 15 এবং 16 সংখ্যা দুটি উভয়ই সমসংখ্যক বার রয়েছে । সংখ্যাগুরু মান 15 হতে গেলে 15 সংখ্যাটিকে সর্বাধিকবার আসতে হবে ।
∴ x = 15
(v) ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো 8 , 9, 12, 17, x+2, x+4, 30, 31, 34, 39 তথ্যের মধ্যমা 24 হলে x এর মান
(a) 22
(b) 21
(c)20
(d) 24
উত্তরঃ (b) 21
সমাধানঃ
এক্ষেত্রে n = 10
∴ মধ্যমা= ½ [ n/2 তম সংখ্যা + {(n/2)+1}তম সংখ্যা ]
= ½ [ 10/2 তম সংখ্যা + {(10/2)+1}তম সংখ্যা]
= ½ (5 তম সংখ্যা + 6 তম সংখ্যা)
= ½ {( x+2)+(x+4)}
= ½ × (2x+6)
= ½ ×2 × (x+3)
= (x+3)
শর্তানুসারে ,
X+3= 24
বা, x = 21
(B) নীচের বিবৃতি গুলি সত্য না মিথ্যা লিখি ঃ
(i) 2,3,9,10,9,3,9 তথ্যের সংখ্যাগুরু মান 10
উত্তরঃ মিথ্যা
সংখ্যাগুরু মান = 9
(ii) 3 , 14, 18, 20, 5 তথ্যের মধ্যমা 18
মিথ্যা
এক্ষেত্রে n = 5
∴ মধ্যমা = (5+1)/2 তম সংখ্যা = 3 তম সংখ্যা = 14
( C ) শূন্যস্থান পূরণ করি ঃ
(i) যৌগিক গড় , মধ্যমা , সংখ্যাগুরু মান হল _____________ প্রবনতার মাপক ।
উত্তর ঃ কেন্দ্রীয়
(ii) x1,x2,x3,……………,xn এর গড় x হলে ax1,ax2,ax3,……….,axn এর গড় ________ , যেখানে a ≠ 0
উত্তরঃ a.x̄
(iii) ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণীর শ্রেণী দৈর্ঘ্য ______________ ।
উত্তর ঃ ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণীর শ্রেণী দৈর্ঘ্য সমান ।
10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ
| শ্রেণী | 65-85 | 85-105 | 105-125 | 125-145 | 145-165 | 165-185 | 185-205 |
| পরিসংখ্যা | 4 | 15 | 3 | 20 | 14 | 7 | 14 |
(i) উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকের মধ্যমা শ্রেণীর ঊর্ধ্ব শ্রেণী-সীমানা এবং সংখ্যাগুরু্মান শ্রেণীর নিম্ন শ্রেণী-সীমানার অন্তরফল নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা
| শ্রেণী সীমা | পরিসংখ্যা | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক ) |
| 65-85 | 4 | 4 |
| 85-105 | 15 | 19 |
| 105-125 | 3 | 22 |
| 125-145 | 20 | 42 |
| 145-165 | 14 | 56 |
| 165-185 | 7 | 63 |
| 185-205 | 14 | 77 = n |
এক্ষেত্রে n = 77
∴ n/2 = 77/2 = 38.5
38.5 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (105-145) শ্রেণির মধ্যে আছে ।
সুতরাং মধ্যমা শ্রেণীটি হল (125-145)
মধ্যমা শ্রেণির ঊর্ধ্বশ্রেণিসীমানা = 145
সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণির নিম্নশ্রেণিসীমানা = 125
∴ মধ্যমা শ্রেণির উর্দ্ধ শ্রেণি সীমানা এবং সংখ্যাগুরু শ্রেণির নিম্নশ্রেণিসীমানার অন্তরফল = 145-125 = 20 (উত্তর)
10(ii) 150 জন athlete 150 মিটার hurdle race যত সেকেন্ডে সম্পূর্ণ করে তার একটি পরিসংখ্যা বিভাজন ছক নীচে দেওয়া আছে ।
| সময় (সেকেন্ড) | 13.8-14 | 14-14.2 | 14.2-14.4 | 14.4-14.6 | 14.6-14.8 | 14.8-15 |
| Athelete এর সংখ্যা | 2 | 4 | 5 | 71 | 48 | 20 |
14.6 সেকেন্ড সময়ের কম সময়ে কতজন Athelete 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করতে পারবে ?
সমাধানঃ
পরিসংখ্যা বিভাজনের তালিকা
| সময় (সেকেন্ড) | Athelete এর সংখ্যা |
| 14 –এর কম | 2 |
| 14.2 এর কম | 6 |
| 14.4 এর কম | 11 |
| 14.6 এর কম | 82 |
| 14.8 এর কম | 130 |
| 15 এর কম | 150 |
∴ 14.6 সেকেন্ড সময়ের কম সময়ে 82 জন Athelete 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে ।
10(iii)একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1. ∑fixi= 132+5k এবং fi = 20 হলে k এর মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
প্রশ্নানুসারে,
10(iv) যদি ui = (xi-25)/10 ,∑ fiui =20 এবং ∑ fi = 100 হয় তাহলে xˉ এর মান নির্ণয় করো ।
সমাধানঃ
10(v)
| নম্বর | 10- এর কম | 20 -এর কম | 30-এর কম | 40-এর কম | 50- এর কম | 60- এর কম |
| ছাত্র ছাত্রী সংখ্যা | 3 | 12 | 27 | 57 | 75 | 80 |
উপরের পরিসংখ্যা ছক থেকে সংখ্যাগুরু শ্রেণীটি লেখ ।
সমাধান ঃ
পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হল
| নম্বর | ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা |
| 0-10 | 3 |
| 10-20 | 9 |
| 20-30 | 15 |
| 30-40 | 30 |
| 40-50 | 18 |
| 50-60 | 5 |
∴ সংখ্যাগুরু শ্রেণীটি হল 30-40 ( উত্তর )
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন