কষে দেখি 22
1. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয় , তবে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখিঃ
(i) 8 সেমি.,15 সেমি. , 17 সেমি.
(ii) 9 সেমি. , 11 সেমি., 6 সেমি.
(i) সমাধানঃ এক্ষেত্রে (8)2+(15)2 =(17)2 অর্থাৎ , অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ,অপর বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান । সুতরাং ত্রিভুজটি নিশ্চিত ভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।
(ii) সমাধানঃ এক্ষেত্রে (11)2 ≠ (9)2+(6)2 অর্থাৎ , অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ,অপর বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান নয় ।সুতরাং 9 সেমি. ,11সেমি. এবং 6 সেমি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে না ।
2. আমাদের পাড়ার রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত মিলিদের জানালা স্পর্শ করেছে । এবার ওই রাস্তার একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমনভাবে রাখা হল যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানালা স্পর্শ করল । আমাদের ওই জানালা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে ,তবে পাড়ার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরাযাক , AB হল রাস্তাটির প্রস্থ ,O হল মইয়ের পাদদেশ , C ও D হল যথাক্রমে মিলিদের এবং আমাদের জানালার অবস্থান ।
∴ AC=9 মিটার , BD=12 মিটার এবং মইয়ের দৈর্ঘ্য OC = OD = 15 মিটার ।
এখন , ∆OAC এবং ∆OBD উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ ।
∴ ∆OAC সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
OC2=OA2+AC2
বা, (15)2= OA2+(9)2
বা, OA2 = (15)2-(9)2
বা, OA2 = 225-81
বা, OA2 = 144
বা, OA2 = (12)2
বা, OA = 12
একই ভাবে ∆OBD সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
OD2=OB2+BD2
বা, (15)2 = OB2+(12)2
বা, 225=OB2+144
বা, OB2 = 225-144
বা, OB2 = 81
বা, OB2 =(9)2
বা, OB = 9
∴ AB=AO+OB = (12+9)মিটার = 21 মিটার ।
∴ রাস্তাটি 21 মিটার চওড়া ।
3. 10 সেমি. বাহু বিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. হলে , রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি ,ABCD একটি রম্বস যার দুটি কর্ণ AC এবং BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং BD = 12 সেমি.।
যেহেতু রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি. ∴ AB=BC=CD=DA=10 সেমি.।
যেহেতু,রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
∴ OD = 6সেমি. এবং ∠AOD =90°
এখন , ∆AOD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AD2=OA2+OD2
বা, (10)2 = OA2 + (6)2
বা, 100 = (OA)2+36
বা, (OA)2 = 100-36
বা, OA2 = 64
বা, OA2 =(8)2
বা, OA =8
∴ AC = (2 ✕ 8)সেমি. = 16 সেমি.
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. ।
4. একটি ত্রিভুজ ∆PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ । QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে , প্রমাণ করি যে , PS2+QR2 = PR2+QS2
ধরি ,∆PQR একটি ত্রিভুজ যার Q সমকোণ । QR বাহুর উপর S যেকোনো একটি বিন্দু হলে , প্রমান করতে হবে যে , PS2+QR2=PR2+QS2
প্রমাণঃ যেহেতু , ∠Q সমকোণ , ∴ ∠PQS=∠PQR=90º
∴ ∆PQS এবং ∆PQR উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ ।
∆PQS সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
PS2 = PQ2+QS2 —-(i)
আবার ∆PQR সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
PR2 = PQ2+QR2
বা, QR2 = PR2-PQ2 —-(ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
∴ PS2 + QR2 = PQ2+QS2 +PR2-PQ2
বা, PS2 + QR2 = PR2 +QS2 [প্রমাণিত]
5.প্রমাণ করি, যে –কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান ।
ধরি , ABCD একটি রম্বস,যার কর্ণদ্বয় হল AC এবং BD। প্রমান করতে হবে যে, AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2
প্রমাণঃ যেহেতু ABCD একটি রম্বস, ∴ AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
∴OA=OC এবং OB=OD আবার OA =AC/2 এবং OB= BD/2
∴ ∆AOB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই AB2=OB2+OA2
∆BOC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই BC2=OB2+OC2
∆COD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই CD2=OC2+OD2
∆AOD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই DA2 = OA2+OD2
∴ AB2+BC2+CD2+DA2
= OB2+OA2+ OB2+OC2 +OC2+OD2+ OA2+OD2
= 2OA2+2OB2+2OC2+2OD2
= 4OA2+4OB2 [যেহেতু ,OA=OC এবং OB=OD]
= AC2+BD2
∴ AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2 [প্রমাণিত]
6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ । AD , BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমান করি যে , AB2+BC2+CA2=4AD2
ধরি , ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ । A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপরে AD লম্ব টানা হল , প্রমাণ করতে হবে যে , AB2+BC2+CA2=4AD2
প্রমাণঃ ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব ∴ AD একটি মধ্যমা , সুতরাং D ,BC এর মধ্যবিন্দু ।
যেহেতু AD , BC বাহুর উপর লম্ব সুতরাং ∆ADB এবং ∆ADC উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ ।
∴ AB2= AD2+BD2
বা, 4AB2 = 4AD2+BC2
বা, 4AB2-BC2=4AD2
বা, 4AB2-AB2=4AD2 [ যেহেতু, AB=BC=CA]
বা, 3AB2= 4AD2
বা, AB2+AB2+AB2=4AD2
বা, AB2+BC2+CA2 = 4AD2 [যেহেতু, AB=BC=CA]
∴ AB2+BC2+CA2 = 4AD2 [প্রমাণিত]
7. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ∆ABC অঙ্কন করলাম যার A সমকোণ । AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম । P,Q; B,Q ও C,P যুক্ত করে ,প্রমাণ করি যে , BQ2+PC2=BC2+PQ2
ধরি , ∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার A সমকোণ , AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নেওয়া হল । P,Q;B,Q ও C,P যুক্ত করে ,প্রমাণ করতে হবে যে , BQ2+PC2=BC2+PQ2
প্রমাণঃ যেহেতু A সমকোণ
∴ ∆ABQ,∆APC, ∆APQ এবং ∆ABC প্রত্যেকে সমকোণী ত্রিভুজ ।
∆ABQ সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই BQ2 = AQ2+AB2 —(i)
∆APC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই PC2 = AC2+AP2 —(ii)
∆APQ সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই PQ2 = AP2+AQ2 —(iii)
∆ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই BC2 = AC2+AB2 —(iv)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
BQ2+PC2
= AQ2+AB2+AC2+AP2
= (AQ2+AP2 )+(AC2+AB2 )
= PQ2+BC2 [(iii) ও (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই]
∴ BQ2+PC2 = PQ2+BC2 [প্রমাণিত ]
8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে ,প্রমাণ করি যে , AB2+CD2=BC2+DA2
ধরি ,ABCD চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে , AB2+CD2=BC2+DA2
প্রমাণঃ যেহেতু ,ABCD চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে , ∴ ∆AOB,∆BOC,∆COA এবং ∆AOD প্রত্যেকে সমকোণী ত্রিভুজ ।
∆AOB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই AB2 = OA2+OB2 —(i)
∆BOC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই BC2 = OB2+OC2 —(ii)
∆COD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই CD2 = OC2+OD2 —(iii)
∆DOA সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই AD2 = OA2+OD2 —(iv)
(i) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
AB2+CD2
=OA2+OB2 +OC2+OD2
= (OA2+OD2)+(OB2+OC2)
= AD2+BC2 [ (ii)ও(iv) নং সমীকরণ থেকে পাই ]
∴ AB2+CD2 =AD2+BC2 [প্রমাণিত ]
9.একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB2-AC2=BD2-CD2
ধরি ,ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ , AD হল ত্রিভুজটির উচ্চতা এবং AB>AC , প্রমাণ করতে হবে যে ,AB2-AC2=BD2-CD2
প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজে AD উচ্চতা ।
∴ AD⊥BC
∴ ∆ABD এবং ∆ACD উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ ।
∆ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই AB2 = AD2+BD2 —(i)
এবং ∆ACD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই AC2= AD2+CD2 —(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,
AB2-AC2
= (AD2+BD2)-(AD2+CD2)
= AD2+BD2-AD2-CD2
= BD2-CD2
∴ AB2-AC2 = BD2-CD2 [ প্রমাণিত ]
10. ABC এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB) বাহু দুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করি যে , AC2+BP2=AB2+CP2
ABC একটি ত্রিভুজ যার B ও C বিন্দু থেকে AC ও BC বাহুর উপর দুটি লম্ব যথাক্রমে , BD ও CE অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে , AC2+BP2=AB2+CP2
অঙ্কনঃ A,P যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যা BC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
প্রমাণঃ ∆ABC এর AF ⊥ BC[ যেহেতু , P লম্ববিন্দু]
সমকোণী ত্রিভুজ ∆ACF থেকে পাই AC2=AF2+CF2 —(i)
সমকোণী ত্রিভুজ ∆BPF থেকে পাই BP2=BF2+PF2 —(ii)
সমকোণী ত্রিভুজ ∆ABF থেকে পাই AB2=AF2+BF2 —(iii)
সমকোণী ত্রিভুজ ∆CPF থেকে পাই CP2=PF2+CF2 —(iv)
(i) ও (ii)নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
AC2 + BP2=BF2+PF2 +AF2+CF2
বা, AC2 + BP2 = AF2+BF2+PF2+CF2
বা, AC2 + BP2 = AB2+CP2 [(iii) নং ও(iv) নং সমীকরণ থেকে পাই ]
∴ AC2 + BP2 = AB2+CP2 [প্রমাণিত ]
11. ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার C সমকোণ । D ,AB এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে , প্রমাণ কর যে, AD2+DB2=2CD2
ধরাযাক ,∆ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার কোণ ∠C সমকোণ । D, AB বাহুর উপর যেকোনো একটি বিন্দু , প্রমাণ করতে হবে যে , AD2+DB2= 2CD2
অঙ্কনঃ D বিন্দু থেকে AC এবং BC এর উপর DE এবং DF লম্ব অঙ্কন করা হল ।
প্রমাণঃ ∆ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ এবং AC = BC
∴ ∠CBA =∠CBA = 45°
আবার , ∆ADE এর ∠AED = 90° [যেহেতু , DE ⊥ AC] এবং ∠EAD = 45° , ∴ ∠ADE = 45°
∴ ∆ADE এর ∠ADE=∠EAD
∴ AE =DE
∆ADE ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই ,
AD2 = AE2 + DE2
= DE2+DE2
= 2DE2 —(i)
আবার , ∆DBF এর ∠BFD = 90° এবং ∠FBD = 45°, ∴ ∠BDF = 45°
∴ ∆DBF এর ∠FBD=∠BDF , ∴ BF=FD
∆DBF সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
BD2= BF2+FD2
= FD2+FD2
= 2FD2 —(ii)
(i) ও(ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
AD2 +BD2
= 2DE2 + 2FD2
=2(DE2+FD2)
= 2(CF2+FD2) [ যেহেতু,CEDF চতুর্ভুজের ∠EDF,∠DEC এবং ∠DFC প্রত্যেকে 90°,∴CEDF একটি আয়তক্ষেত্র , ∴DE=CF এবং FD=CE]
= 2 CD2 [যেহেতু,∆CFD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে CF2+FD2=CD2]
∴ AD2 +BD2 =2CD2 [ প্রমাণিত ]
12. ABC ত্রিভুজে ∠A সমকোণ । CD মধ্যমা হলে, প্রমাণ করি যে , BC2 = CD2+3AD2
ধরাযাক ,ABC সমকোণী ত্রিভুজ যার A সমকোণ । CD মধ্যমা ,প্রমাণ করতে হবে যে , BC2 = CD2+3AD2
প্রমাণঃ ∆ABC এবং ∆CAD উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ যার A সমকোণ ।
∆ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই AB2+AC2 = BC2 —(i)
∆ACD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই CD2 = AD2+AC2—(ii)
∴ BC2 = AB2+AC2
এখন D, AC এর মধ্যবিন্দু ।
∴ AC=2AD—(iii)
∴ BC2 = (2AD)2 + (CD2-AD2) [(ii) ও (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই ]
বা, BC2 = 4AD2+CD2-AD2
বা, BC2 = CD2 +3AD2 [প্রমাণিত ]
13. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC , CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX,OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি । প্রমাণ করি যে , AZ2+BX2+CY2 = AY2+CX2+BZ2
ABC একটি ত্রিভুজ যার অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু এবং O বিন্দু থেকে BC,CA এবং AB বাহুর উপরে যথাক্রমে OX,OY এবং OZ লম্ব অঙ্কন করা হল ।
প্রমাণ করতে হবে যে , AZ2+BX2+CY2 = AY2+CX2+BZ2
অঙ্কনঃ O,A; O,B এবং O,C যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ যেহেতু , OX,OY এবং OZ যথাক্রমে BC ,CA এবং AB বাহুর উপর লম্ব ।
∴ ∆AOZ,∆BOX ,∆COY , ∆AOY,∆COX এবং ∆BOZ প্রত্যেকে সমকোণী ত্রিভুজ ।
∆AOZ সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
OA2 = AZ2+OZ2
বা, AZ2 = OA2 – OZ2 —(i)
∆BOX সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
OB2 = OX2 +BX2
বা, BX2 = OB2 –OX2 —(ii)
∆COY সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
OC2 = OY2+CY2
বা, CY2 = OC2 – OY2 —(iii)
∆AOY সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
OA2 =OY2+AY2
বা, OA2 –OY2 = AY2—(iv)
∆COX সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
OC2 = OX2+CX2
বা, CX2 = OC2-OX2 —(v)
∆BOZ সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
OB2 = OZ2+BZ2
বা, BZ2 = OB2 –OZ2 —(vi)
∴ AZ2+BX2+CY2 = OA2 – OZ2 + OB2 –OX2 +OC2 – OY2
বা, AZ2+BX2+CY2 = OA2-OY2 + OC2-OX2 +OB2-OZ2
বা, AZ2+BX2+CY2 = AY2 +CX2+BZ2 [ (iv),(v) এবং (vi) নং সমীকরণ থেকে পাই ]
∴ AZ2+BX2+CY2 = AY2 +CX2+BZ2 [প্রমাণিত]
14. ∆RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ । RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y ; প্রমাণ করি যে , RY2+XT2 =5XY2
∆RST ত্রিভুজের S সমকোণ । RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y ;প্রমাণ করতে হবে যে , RY2+XT2 =5XY2
প্রমাণঃ ∆RST ত্রিভুজে ∠S সমকোণ ।
∴ ∆RST , ∆RSY, ∆XST , ∆XSY প্রত্যেকে সমকোণী ত্রিভুজ ।
∴ সমকোণী ত্রিভুজ ∆RSY থেকে পাই RY2 = RS2+SY2 —(i)
সমকোণী ত্রিভুজ ∆XST থেকে পাই XT2 = XS2+ST2 —(ii)
সমকোণী ত্রিভুজ ∆XSY থেকে পাই XY2 = XS2+SY2 —(iii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
RY2 + XT2 = RS2+SY2+ XS2+ST2
বা, RY2 + XT2 = (2XS)2+XS2+SY2+(2SY)2 [যেহেতু ,RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y ]
বা, RY2 + XT2 = 4XS2+XS2+SY2+4SY2
বা, RY2+XT2 = 5XS2+5SY2
বা, RY2+XT2 = 5(XS2+SY2)
বা, RY2 +XT2 = 5XY2 [(iii) নং সমীকরণ থেকে পাই ]
বা, RY2 +XT2 = 5XY2 [ প্রমাণিত ]
∴ RY2 +XT2 = 5XY2 [ প্রমাণিত ]
15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) এক ব্যাক্তি একটি স্থান থেকে 24 মিটার পশ্চিমদিকে যান এবং তারপর 10 মিটার উত্তরদিকে যান । যাত্রাস্থান থেকে ব্যাক্তির দূরত্ব
(a) 34 মিটার
(b) 17 মিটার
(c) 26 মিটার
(d) 25 মিটার
Ans:(c) 26 মিটার
সমাধানঃ
এক্ষেত্রে , OA = 24 মিটার এবং AB = 10 মিটার ।
এখন স্পষ্টতই ∆OAB সমকোণী ত্রিভুজ ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই ,
OB2 = OA2+AB2
বা, OB2 = (24)2+(10)2
বা, OB2 = 576+100
বা, OB2 = 676
বা, OB = √676
বা, OB = 26
∴ যাত্রাস্থান থেকে ওই ব্যাক্তির দূরত্ব 26 মিটার ।
(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD লম্ব BC হলে , AD2 =
(a) 3/2 DC2
(b) 2 DC 2
(c ) 3DC2
(d) 4DC2
Ans: (c ) 3DC2
সমাধানঃ
ABC সমবাহু ত্রিভুজ যার AD লম্ব BC, ∴ AD মধ্যমা ।
এখন , ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AC2= AD2+CD2
বা, AD2 = AC2-CD2
বা, AD2 = BC2-CD2 [যেহেতু , AB=BC=CA ]
বা, AD2 = (2CD)2-CD2 [ যেহেতু , AD মধ্যমা, ∴ BC=2CD]
বা, AD2 = 4CD2-CD2
বা, AD2 = 3CD2
বা, AD2 = 3DC2
(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC =BC এবং AB2 =2AC2 হলে , ∠C এর পরিমাপ
(a) 30°
(b) 90°
(c ) 45°
(d) 60°
Ans: (b) 90°
সমাধানঃ
AB2 =2AC2
বা, AB2 = AC2+AC2
বা, AB2 = AC2+ BC2 [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য ]
∴ C সমকোণ ।
(iv) 13 মিটার ও 7 মিটার উচ্চ দুটি দণ্ড ভূমিতলে লম্বভাবে অবস্থিত এবং তাদের পাদদেশের মধ্যে দূরত্ব 8 মিটার । তাদের শীর্ষদেশের মধ্যে দূরত্ব
(a) 9 মিটার
(b) 10 মিটার
(c ) 11 মিটার
(d) 12 মিটার
Ans: (b) 10 মিটার
সমাধানঃ
ধরাযাক , AB ও CD দুটি দণ্ড ভূমিতলে লম্বভাবে অবস্থিত ।
∴ AB = 7মিটার , CD= 13মিটার এবং BC =8 মিটার
যেহেতু , AB এবং DC উভয়ই BC ভূমির উপর লম্ব সুতরাং AB || DC , আবার A থেকে DC এর উপর AF লম্ব সুতরাং AF || BC
আবার, ∠ABC = ∠BCF = 90°
∴ ABCF একটি আয়তক্ষেত্র ।
∴ BC=AF = 8 মিটার এবং AB=FC =7 মিটার এবং AFD =90°
∆AFD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে AF = 8মিটার ,DF=DC-FC=13-7=6মিটার
∆AFD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
AD2 = AF2+DF2
বা, AD2 = (8)2+ (6)2
বা, AD2 =64+36
বা, AD2 = 100
বা, AD2 = (10)2
বা, AD = 10
(v) একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি. এবং 10 সেমি. হলে , রম্বসটির পরিসীমা
(a ) 13 সেমি.
(b) 26 সেমি.
(c ) 52সেমি.
(d) 25 সেমি.
Ans: (c ) 52সেমি.
সমাধানঃ
ধরাযাক , ABCD একটি রম্বস যার দুটি কর্ণ AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
ধরি , AC = 24সেমি. এবং BD=10সেমি. , যেহেতু রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে , ∴ OA= 24/2 সেমি. = 12 সেমি.এবং OB = 10/2 সেমি. = 5 সেমি.
এখন ∆OAB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
OA2+OB2 =AB2
বা, (12)2 + (5)2 = AB2
বা, 144+25 = AB2
বা, AB2 = 169
বা, AB2 = (13)2
বা, AB= 13
∴ রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সেমি. সুতরাং রম্বসটির পরিসীমা = (13✕4)সেমি. = 52 সেমি.।
(B) নীচের বিবৃতি গুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4:5 হলে , ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে ।
উত্তরঃ সত্য
সমাধানঃ ধরি , ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3x একক , 4x একক এবং 5x একক ।
এখন , (5x)2 = 25x2 = 16x2+9x2 = (4x)2+(3x)2
∴ (5x)2 = (4x)2+(3x)2
∴ ত্রিভুজটির বাহুগুলি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে সুতরাং ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।
(ii) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তে কোনো জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যাটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হবে ।
উত্তরঃ মিথ্যা ।
সমাধানঃ
ধরাযাক,O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করে । ∴ ∆AOB সমকোণী ত্রিভুজ ।
এক্ষেত্রে , OA=OB=10সেমি.
এখন , ∆AOB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AB2 = OA2+OB2
বা, AB2 = (10)2+(10)2
বা, AB2 = 100+100
বা, AB2 = 200
বা, AB = √200
বা, AB = 10√2
∴ AB জ্যাএর দৈর্ঘ্য 10√2 সেমি.
(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ___________ সমান ।
উত্তরঃ সমষ্টির
(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি. হলে ,অতিভুজের দৈর্ঘ্য __________ সেমি. ।
উত্তরঃ 8 সেমি. ।
(iii) ABCD আয়তকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে । AB= 12 সেমি. , AO = 6.5 সেমি. হলে, BC এর দৈর্ঘ্য ___________ সেমি. ।
উত্তরঃ 5 সেমি.
সমাধানঃ
যেহেতু ,আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে, ∴ OA = OC= 6.5 সেমি.
∴ AC = (6.5✕2)সেমি. = 13 সেমি.
এখন , ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ,
AC2 = AB2 +BC2
বা, BC2 = AC2 –AB2
বা, BC2 = (13)2 – (12)2
বা, BC2 = 169-144
বা, BC2 = 25
বা, BC2 = (5)2
বা, BC = 5
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) ∆ABC ত্রিভুজের AB=(2a-1) সেমি. ,AC= 2√(2a) সেমি. এবং BC=(2a+1) সেমি. হলে, ∠BAC এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
AB2+AC2 = (2a-1)2+{2√(2a)}2 = 4a2-4a+1+8a= 4a2+4a+1=(2a+1)2=BC2
∴ AB2+AC2 = BC2 [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য ]
∴ ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ ।
∴ ∠A=90°
(ii) পাশের চিত্রে ∆PQR ত্রিভুজের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে ∠POQ=90 ,OP=6 সেমি. এবং OQ= 8সেমি. ।যদি PR=24সেমি. এবং ∠QPR =90° হয় ,তাহলে QR বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।
সমাধানঃ
∆PQR ত্রিভুজে ∠POQ =90° , OP=6 সেমি. এবং OQ=8সেমি. ।
∆PQR সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
PQ2 = OP2+OQ2
বা, PQ2 = (6)2 +(8)2
বা, PQ2 = 36+64
বা, PQ2 = 100
বা, PQ2=(10)2
বা, PQ = 10
আবার ∆PQR সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠QPR=90°
∴ PR2+QP2 = RQ2
বা, (24)2+(10)2 = QR2
বা, 576 + 100 = QR2
বা, QR2 = 676
বা, QR2 = (26)2
বা, QR = 26
∴ QR বাহুর দৈর্ঘ্য 26 সেমি.।
(iii) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB=6সেমি., OD= 8 সেমি. এবং OA=5 সেমি. । OC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু হলে , OA2+OC2 = OB2+OD2হয় ।
∴ OA2+OC2 = OB2+OD2
বা, (5)2+OC2 = (6)2+(8)2
বা, 25+OC2 = 36+64
বা, OC2 = 100-25
বা, OC2 = 75
বা, OC2 = (5√3)2
বা, OC = 5√3
∴ OC এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি. ।
(iv) ∆ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব BC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয় । যদি BD=8 সেমি. ,DC=2 সেমি. এবং AD = 4সেমি. হয় ,তাহলে ∠BAC এর পরিমাপ কত তা লিখি ।
সমাধানঃ
∆ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব যা BC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয় ।
∴ ∆ABD এবং ∆ACD উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ ।
এখন , ∆ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AB2 = AD2+BD2
বা, AB2 = (4)2+(8)2
বা, AB2 = 16+64
বা, AB2 = 80
আবার , ∆ACD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AC2 = AD2+CD2
বা, AC2 = (4)2+(2)2
বা, AC2 = 16+4
বা, AC2 = 20
BC= BD+CD = 8+2 =10 সেমি.
আবার , ∆ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ,
AB2 +AC2 = 80+20=100=(10)2 =BC2
∴ AB2+AC2 = BC2
∴ ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজ
∴ ∠BAC = 90º
(v) ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°, AB = 3সেমি. ,BC=4সেমি. এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয় । BD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
AC2 = AB2+BC2
বা, AC2 = (3)2+(4)2
বা, AC2 = 9+16
বা, AC2 = 25
বা, AC2 = (5)2
বা, AC = 5
এখন , ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের BC ভূমি হলে AB উচ্চতা এবং AC ভূমি হলে BD উচ্চতা ।
∴ ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ ✕4✕3 বর্গসেমি = ½ ✕5✕BD বর্গসেমি
∴ ½ ✕ 4✕3 = ½ ✕5✕BD
বা, 6 = 5BD/2
বা, BD = 12/5
বা, BD = 2.4
∴ BD এর দৈর্ঘ্য 2.4 সেমি. ।
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন